| Obiettivi
Il corso si propone di fornire il linguaggio ed i tradizionali elementi di base dell’ Analisi Matematica. Conservando la tradizionale struttura logica su cui poggia il ”calcolo”, gli argomenti verranno presentati privilegiando l’aspetto costruttivo, senza tuttavia rinunciare al rigore necessario ad un uso critico e consapevole degli strumenti matematici nei problemi di ingegneria e delle discipline applicate.
Programma delle lezioni e delle esercitazioni
1 - Insiemi Numerici
Richiami sui numeri naturali, interi, razionali. Il principio di induzione. Coefficiente binomiale, potenza n-sima di un binomio. Numeri reali . Ordinamento e completezza. Potenze con esponente reale, logaritmi.
Numeri complessi. Forma algebrica, trigonometrica, esponenziale di un numero complesso. Rappresentazione nel piano di Gauss. Operazioni sui numeri complessi. Radici n-sime di un numero complesso. Teorema fondamentale dell’Algebra.
2 - Funzioni reali di una variabile reale
2.1 Generalità
Funzione; dominio, codominio, rappresentazione cartesiana. Successione. Funzioni iniettive, suriettive, biiettive. Funzione composta, funzione inversa.
Funzioni reali di variabile reale: funzioni limitate, monotone, simmetriche, periodiche.
Funzioni elementari.
2.2 Limiti
Definizione di limite di successione. Unicità del limite. Teorema della permanenza del segno. Teorema del confronto. Algebra dei limiti. Forme di indecisione. Esistenza del limite per successioni monotone. Il numero e. Limiti notevoli. Limiti di funzioni. Infiniti, infinitesimi e loro confronto: uso dei simboli di “asintotico” e di “o piccolo”.
2.3 Continuità
Definizione, continuità in un punto, in un insieme. Punti di discontinuità e loro classificazione. Funzioni continue su intervalli: teoremi di Weierstrass, degli zeri e dei valori intermedi.
2.4 Calcolo differenziale
Definizione di derivata e sue interpretazioni. Derivate di funzioni elementari. Continuità e derivabilità. Regole di derivazione. Derivata di funzione composta. Classificazione dei punti di non derivabilità. Massimi e minimi locali. Punti stazionari. Teorema di Fermat, teorema di Lagrange. Conseguenze del teorema di Lagrange. Teorema di De L’Hospital. Formula di Taylor con resto secondo Peano e con resto secondo Lagrange. Concavità e convessità. Continuità e derivabilità di funzione inversa. Studio del grafico di una funzione. Primitiva, integrale indefinito.
2.5 Calcolo integrale
Integrale definito. Teorema della media. Funzione integrale. I e II teorema fondamentale del calcolo integrale. Metodi di integrazione. Calcolo di aree piane.
2.6 Integrali generalizzati
Integrale generalizzato per funzioni illimitate su un intervallo limitato o definite su un intervallo illimitato. Criteri di integrabilità. Integrabilità assoluta e integrabilità semplice. Cenni alle funzioni integrali.
3 – Serie
3.1 Serie numeriche. Definizione di serie e prime proprietà. Serie geometrica, serie di Mengoli, serie armonica. Serie a termini non negativi: criterio del confronto, del rapporto, della radice. Serie a termini di segno qualunque: convergenza e convergenza assoluta. Criterio di Leibnitz.
3.2 Serie di Taylor. Definizione di serie di potenze.. Sviluppo in serie di Taylor delle funzioni elementari. Definizione dell’esponenziale nel campo complesso e delle altre trascendenti elementari tramite serie di potenze. Formula di Eulero. |